{1}КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ
С ПОВОРОТОМ
СТРЕЛЫ ВРЕМЕНИ
/Опубликовано:ЖЭТФ
79. 689-693 (1980)/
Рассматриваются космологические
модели Вселенной с поворотом стрелы
времени. Сформулированы
ранее высказанная автором гипотеза
космологической
СРТ-симметрии
и гипотеза многолистной открытой
модели с отрицательной
пространственной кривизной, с возможным
нарушением СРТ-симметрии
инвариантным комбинированным зарядом.
Применительно к
этим моделям обсуждается статистический парадокс
обратимости. Малая
безразмерная величина 
(
- гиперболический
радиус, 
- плотность энтропии), характеризующая среднюю
пространственную
кривизну Вселенной, объясняется как результат
эволюции Вселенной
в ходе многих последовательных циклов расширения -
сжатия.
Уравнения движения классической и нерелятивистской
квантовой механики, а также квантовой теории поля допускают обращение времени
(в теории поля - одновременно с
СР-преобразованием). Статистические уравнения,
однако, необратимы. Это противоречие известно с конца XIX века. Мы будем
говорить о нем как о «глобальном парадоксе обратимости» статистической
физики. Традиционное объяснение относит необратимость к начальным условиям.
Однако неравноправие двух направлений времени в картине мира при этом сохраняется.
Современная космология открывает возможность
устранения этого парадокса. В настоящее время в космологии общепринята
концепция расширяющейся Вселенной, согласно которой некоторый момент времени
характеризуется обращением в нуль пространственного метрического тензора
(ниже этот момент «фридмановской сингулярности» для краткости обозначен
Ф).
В 1966-67 гг. автор предположил, что в космологии можно рассматривать нс
только более поздние, чем Ф, но и более ранние
моменты времени, однако при этом статистические свойства состояния Вселенной
в момент Ф таковы, что энтропия возрастает
вперед во времени, так и назад во времени:
dS/dt > 0, S(t) > S(0) при t > 0,
dS/dt < 0, S(t) > S(0) при t < 0.
Таким образом, предположено, что при t >0 действуют
нормальные статистические уравнения, а при t < 0 - обращенные по времени.
Это обращение относи ко всем неравновесным процессам, включая информационные,
т.е. и к процессам жизни. Автор назвал такую ситуацию «поворотом стрелы
времени». Поворот стрелы времени снимает парадокс обратимости - в картине
мира в целом восстанавливается равноправие двух направлений времени, присущее
уравнениям движения.
Несмотря на отсутствие динамического взаимодействия
между областями мира c t > 0 и t < 0, предположение о повороте стрелы
времени является физически содержательным - из него должны следовать некоторые
утверждения о характере начальных условий в точке Ф.
Рассмотрим в качестве модельного примера поворота
стрелы времени к сическую кинетическую теорию газов. Постулируем в момент
t
= 0 сферически симметричное распределение атомов по скоростям в
каждой пространственной точке и неоднородное распределение плотности и
температуры в пространстве. Постулируем (и это особенно существенно) отсутствие
в момент
t = 0 корреляции между относительными положениями
и относительными скоростями атомов - в данном случае это и есть «статистическое
условие», с использованием которого доказывается минимальность значения
энтропии в точке t = 0.
В работе [1] автор выдвинул гипотезу
о космологической
СРТ-симметрии Вселенной. Согласно этой
гипотезе, все события во Вселенной полностью симметричны относительно гиперповерхности,
соответствующей моменту космлогиического коллапса Ф.
Полагая для этого момента t = 0, требуем наличия симметрии
для преобразования t 
-t.
Единственная точная симметрия, включаю отражение времени, - это СРТ-симметрия.
Из СРТ-симметрии следует сингулярность точки
Ф
и нейтральность по всем инвариантным зарядам. Определим СРТ-сопряженные
поля на вспомогательном полупространстве
и обозначим эти поля индексами
и 
. Потребуем:
для спиноров 
,
для компонент 4 - репера 
(РТ-отражение) (в скобках индекс, отнесенный
к реперу).
Отобразим поле
на область 
и поле
на область
(с соотвстствующим изменением знака 
).
Из условия непрерывности на гиперповерхности имеем 
(сингулярность точки Ф) и 
,
откуда ток
(условие нейтральности в точке Ф).
Нейтральность Вселенной требует, чтобы наблюдаемая
барионная асимметрия возникала в ходе неравновесных процессов расширения
Вселенной. При этом необходимо предположить нарушение барионного заряда,
но возможно сохранение комбинированного заряда типа 3В
± L(см.[1,2]), где В
- барионный заряд, L - лептонный заряд. Заметим,
однако, что в наиболее популярных сейчас схемах объединения сильных, слабых
и электромагнитных взаимодействий (например, в схеме SU5)
такого закона сохранения нет (сохранение B-L
тоже приближенно в большинстве схем).
СРТ-симметрия
не является единственной возможной реализацией поворота стрелы времени.
Достаточно потребовать, чтобы в момент Ф выполнялись
статистические условия отсутствия корреляций. Наиболее естественно предположение,
согласно которому нарушение СРТ-симметрии при
повороте стрелы времени обусловлено наличием конечного инвариантного комбинированного
заряда (конечно, если такой заряд существует и не обладает калибровочным
полем). Численная величина комбинированного заряда при этом не связана
непосредственно с остаточной барионной асимметрией, возникающей динамически
в ходе расширения Вселенной.
Поворот стрелы времени (с CPТ-симметрией
или без нее) возможен как в обычной открытой модели Вселенной, так и в
моделях с бесконечным повторением циклов расширения - сжатия (в пульсирующих
моделях, или, по терминологии автора, в «многолистных моделях», см. [2]).
Такие модели представляются нам в силу присущих им особенностей наиболее
интересными, и мы рассмотрим их подробнее.
Отметим, прежде всего, что в этих моделях
циклы, близкие к моменту Ф, должны существенно
отличаться от более «поздних» циклов, для которых все основные статистические
характеристики асимптотически приближаются к своим предельным значениям
при 
| (n - номер
цикла; 
). Эти предельные
«самовоспроизводящиеся» значения соответствуют многолистной модели без
поворота стрелы времени, см. [2]. В многолистной модели без поворота
стрелы времени, согласно [2
], должны быть равны нулю пространственная
кривизна и все инвариантные заряды (в смысле средних значений). В модели
же с поворотом стрелы времени эти величины должны равняться нулю лишь асимптотически.
Многолистная модель с поворотом стрелы времени в этом смысле является более
общей.
Итак, рассмотрим многолистную модель с конечной
пространственной кривизной - 
и, возможно, конечным комбинированным зарядом. Будем считать кривизну отрицательной
( - гиперболический радиус), что
по-видимому, соответствует наблюдениям. Космологическую постоянную Эйнштейна
тоже будем считать отличной от нуля и такого знака, что соответствующая
плотность энергии вакуума 
.
Об абсолютной величине 
не делаем предположений, но очень вероятно, что мало
по сравнению со средней плотностью вещества в настоящее время. Отрицательный
знак соответствует нарушению симметрии вакуумного состояния с 
.
Динамика Вселенной определяется уравнением
Эйнштейна
которое запишем в виде (принято с - скорость света, равная 1)
(2)
где H - параметр Хаббла, 
- плотность «обычной» материи;
и 
стремятся к нулю при 
.
Так как 
, то при некотором
значении Н
обращается в нуль и расширение сменяется сжатием. Вселенная, таким образом,
испытывает бесконечное число циклов расширения-сжатия.
Для начальных условий в окрестности точки
Ф
наиболее естественны следующие 4 варианта предположений (
- плотность энтропии,
- плотность комбинированного заряда, 
означает, что комбинированного заряда нет или он равен нулю):
Вариантам 2) и 4) соответствует СРТ-симметрия.
В случае вариантов 1) и 3) СРТ-симметрия нарушается
наличием комбинированного заряда, что должно приводить к существенным отличиям
в деталях облика мира в положительных и отрицательных циклах. Варианты
1) и 2) соответствуют горячей модели Вселенной, варианты 3) и 4) - холодной.
Холодная модель представляется естественной реализацией поворота стрелы
времени, но в целом для выбора определенного варианта нет ни теоретических,
ни опытных данных.
Энтропия 
в сопутствующем объеме 
при каждом цикле возрастает. Предположим, что при увеличении |n|
на 1 энтропия возрастает в v раз; оценка этого числа, возможная
в принципе, потребовала бы учета основных неравновесных процессов. Сейчас
(в «нашем» цикле 
) энтропия 
,
где 
-плотность фотонов
реликтового излучения. Принято, что плотность
меньше критической. Имеем для вариантов 1) и 2) оценку порядкового номера
нашего цикла (принято для иллюстрации v = 1,1):
В холодных вариантах для создания начальной энтропии необходимы дополнительные
циклы; в варианте 4) начальные частицы возникают в результате большого
числа почти пустых циклов за счет малой кривизны, пропорциональной .
Обозначив плотность фотонов реликтового излучения ,
~ 0,1 см, имеем очень малое безразмерное число
~ 
, характеризующее кривизну
Вселенной (если, конечно, кривизна не равна нулю тождественно, что пока
нельзя считать исключенным). Важным преимуществом многолистной модели с
поворотом стрелы времени является возможность естественного объяснения
возникновения этого безразмерного числа в ходе последовательных циклов
расширения-сжатия.
Асимптотический режим полного подобия последовательных
циклов описывается уравнением (2) с пренебрежением членом 
.
Решение уравнения (2) имеет вид
Максимальный гиперболический радиус n-го цикла 
определяется из условия 
и пропорционален 
при .
Продолжительность каждого цикла 
.
Плотности барионов, лептонов и энтропии в соответствующие моменты каждого
цикла не зависят от |n|. Более близкие к Фциклы
описываются уравнением (2) с пренебрежением
(за исключением относительно малых интервалов времени в начале и в конце
каждого цикла). Пренебрегая ,
имеем 
, продолжительность
циклов 
. Переход от начального
режима к асимптотическому определяется условием 
и произойдет при номере цикла
(в предположении, что сейчас 
).
Однако барионная асимметрия 
,
уже имеет асимптотическое значение, так как она определяется начальной
стадией процесса расширения Вселенной.
Устойчивость описанной картины последовательных
коллапсов не исследована. В работе обсуждены «парадокс обратимости», гипотеза
космологической СРТ-симметрии и варианты многолистной
модели.
Я выражаю благодарность всем, принимавшим
участие в обсуждении предварительных вариантов этой работы, и моей жене
Е.Г. Боннэр за помощь.
Физический институт им. Лебедева Поступила
в редакцию Академии наук СССР
31 января 1980 г
после переработки
24 апреля 1980 г.
Литература
[1] А.Д. Сахаров, Письма в ЖЭТФ 5, 32 (1967).
[2] А.Д. Сахаров, ЖЭТФ 76, 1179 (1979).