.
Пифагорейская октава 

     Построим ряд идеальных тонов 1., 3., 9., 27., 81., 243., 729. Его использовали в неявном 
виде для деления октавы последователи Пифагора. Этот ряд содержит идеальные квинты 
или кварты (1/3) между соседними звуками; идеальные большие тоны (1/9), если брать 
через один звук; идеальные интервалы, близкие к большой и малой терции (1/27 и 81/1), 
и другие. Идеальная пифагорейская октава может выглядеть например так:

     243.   1.      9.      81.      729.   3.      27.      243. 

     Идеальные полутоны (1/243) располагаются здесь между 243. и 1. и между 729. и 3. 
Прочие интервалы между соседними звуками составляют идеальный тон (1/9). В 
реальной форме, при расположении звуков от высоких к более низким, эта октава 
выглядит как: 

     486.   512.      576.      648.      729.   768.      864.      972.

и весьма близка к системе звуков белых клавиш современных инструментов:

                  до   си      ля      соль      фа   ми      ре      до

     Полутоны (256/243) находятся в ней как раз между 486. и 512. (до

и си) и между 729. 
и 768. (фа и ми), а прочие интервалы между расположенными рядом звуками равны 
тону (9/8). Если отсчитать в этой октаве пятый тон от нижнего до, считая до первым, 
получаем квинту соль. Считая от соль к верхнему до, получаем кварту. Считая от 
до к ми, получаем терцию (32/27) и т.д. Традиционные названия интервалов таким 
образом могут быть выведены из свойств этой октавы: квинта — пятый звук по 
порядку, кварта — четвертый, терция — третий. Октава, как показывает ее название, 
является здесь восьмым звуком. Пифагорейскую октаву можно было бы дополнить еще 
пятью звуками, в идеальном виде — степенями числа 3. (от 3⁷. до 3¹¹.), которые должны 
дать полутоны на месте черных клавиш в реальной октаве. Необходимо указать, однако, 
что неточное значение терций (32/27, а не 6/5, и 81/64, а не 5/4) представляет собой 
очевидный существенный недостаток пифагорейской системы звуков. 

<........................>