.
Система трезвучий
Попробуем теперь ввести идеальный тон
5. Сразу же обнаруживается идеальное
трезвучие 1., 3., 5. Оно служит основой реального минорного трезвучия
3., 4., 5. или
4., 5., 6. и состоит из квинты или кварты, большой терции и малой терции
или
соответствующих секст. С другой стороны, мажорное идеальное трезвучие,
построенное
из тех же отношений, что и минорное (1/3, 5/3 и 5/1) состоит из трех
идеальных тонов
3., 5., и 15. Разница между трезвучиями состоит в том, что в минорном
каждый звук
вступает в отношения лишь в одном качестве (например как 1., которая
входит в
отношения 1/3 и 1/5), а в мажорном каждый звук играет двоякую роль
(как звук 3.,
который может войти в отношение 1/5 со звуком 15. и 3/5 со звуком 5.;
или звук 5.,
находящийся в отношении 1/3 со звуком 15. и 5/3 со звуком 3.)
Расположив звуки обоих трезвучий на горизонталях,
кратных 1. и 5., получаем
следующую картину:
1. 3.
5. 15.
(малый квадрат).
Горизонтальные линии здесь соответствуют идеальной
квинте, вертикальные —
идеальной большой терции, а диагональ от 5. к 3. — идеальной малой
терции.
Пристроим к этому малому квадрату по такому
же квадрату справа и снизу и замкнем четвертый квадрат звуком 225.:
1.
3. 9.
5. 15.
45.
25. 75.
225. (средний квадрат)
Здесь мы обнаруживаем идеальные отношения, равные большому и малому
тону
(1/9 и 5/9) и большому и малому полутонам (1/15 и 3/25).
Если мы проведем сходную операцию со средним
квадратом, то получим большой
квадрат, таблица 1.
Таблица 1
Идеальные тоны в большом квадрате
1.
3. 9.
27. 81.
5.
15. 45.
135. 405.
25. 75.
225. 675.
2025.
125. 375. 1125.
3375. 10125.
625 1875. 5625.
16875. 50625.
В центре квадрата обнаруживается число 225. Мы
примем его за начало октавы,
то есть за ноту “c” или до, и разделим все числа, составляющие
большой квадрат,
на 225. Получим следующие идеальные отношения:
1/225 1/75
1/25 3/25
9/25
1/45 1/15
1/5 3/5
9/5
1/9 1/3
1 3
9
5/9 5/3
5 15
45
25/9 25/3
25 75
225
Умножая или деля каждое из идеальных отношений на степень числа 2 так,
чтобы
получились значения от 1 до 2, находим следующие реальные тоны:
Таблица 2
Тоны октавы в большом квадрате
256/225 128/75
32/25 48/25
(36/25)
64/45 16/15
8/5 6/5
(19/5)
16/9
4/3 1; (2)
3/2
(9/8)
10/9
5/3 5/4
15/8
(45/32)
25/18 25/24
25/16 75/64
(225/128)
Рассматривая таблицу реальных тонов, можно
обратить внимание, что в центре
поставлено два числа: 1. и 2. Это и есть границы октавы. Кроме того
следует указать,
что числа в пятом столбце лишь на 81/80 превышают числа в начале следующего
ряда
(имеется ввиду отношение 36/25 к 64/45 и прочие подобные). Так как
отношение 81/80
весьма мало, числа пятого столбца будут играть вспомогательную роль,
а потому
заключены здесь в скобки.
(Нужно указать, что величина интервала может
оцениваться не только по
пропорции, но и по логарифмической шкале, в центах /См. например Волконский,
2003/. Так 81/80 составляет 20.5 цента. Величина интервала в центах
вычисляется
следующим образом. Берется логарифм значения интервала и умножается
на частное
от деления 1200 на логарифм числа 2. Результат округляется. Получающиеся
величины аддитивны, их можно складывать или вычитать. Суммы и разности
будут оценивать
новый интервал. Величина октавы составляет 1200 центов).
Итак, рабочая октава может быть разделена
лишь на 20 частей, а не на 25. Покажем
сначала как выглядят семь основных звуков нашей октавы, то есть белые
клавиши
обычных инструментов. В третьей строчке написаны значения интервалов
между
соседними звуками белых клавиш:
до си
ля соль
фа ми
ре до1
(c) 16/15 (h)
6/5 (a) 4/3 (g)
3/2 (f) 8/5 (e)
16/9 (d) 2 (c)
16/15
9/8 10/9
9/8 16/15
10/9
9/8
Мы видим, что распределение тонов и полутонов между белыми клавишами здесь
совпадает с традиционным. Сложнее обстоит дело с черными клавишами.
В нашей рабочей октаве между двумя звуками
в интервале, равном большому или
малому тону, вставлено по два звука, один из которых является повышенным
от более
низкого (то есть диезом, #; 71 или 92 цента), а другой —
пониженным от более высокого
(то есть бемолем,
b; те же значения). Между звуками, находящимися
в интервале в
большой полутон, вставлено лишь по одному звуку, который должен служить
одновременно бемолем и диезом. Как видно, во всех случаях значение
бемоля или
диеза превышает или равно интервалу в малый полутон (25/24; 71 цент)
за
исключением
си- и ми-диеза, положение которых совпадает
с до- и фа-бемолями.
Ввиду того, что интервалы между до и си и между
фа
и ми составляют большой
полутон 16/15, полноценные бемоли от до и фа равны здесь
малому полутону 25/24,
а оставшаяся часть интервала к си и к ми оказывается
равной 128/125, что определяет уменьшенное значение диезов от си
и от ми: они составляют 41 цент, а не 71 или 92
цента, как для других нот.
Особо следует указать на интервал между си
и ля, в котором имеется еще один
традиционный звук (b = 10/9), получаемый понижением си
на малый полутон (25/24).
От этого традиционного тона b, в свою очередь может быть взят
новый бемоль bb с
интервалом 135/128 (92 цента), а от ля — диез a#
с таким же интервалом Можно
заметить, что порядок нот между b и a отличается от порядка
в прочих интервалах:
после а вверх идет
bb, затем a#,
и уже за этой нотой следует
b.
Таблица 3
Двадцатитоновая октава
1
* c
25/24 = 1. 042 = 71 цент
25/24 = 1. 041666...
cb; (h#)
128/125 = 1. 024 = 41 цент
16/15 = 1. 066666...
* h
25/24 = 1. 042 = 71 цент
10/9 = 1. 111111...
b; hb
128/125 = 1. 024 = 41 цент
256/225 = 1. 137777...
a#
16875/16384 = 1. 030 = 51 цент
75/64 = 1. 171875
bb
128/125 = 1. 024 = 41 цент
6/5 = 1. 2
* a
25/24 = 1. 042 = 71 цент
5/4 = 1. 25
ab
128/125 = 1. 024 = 41 цент
32/25 = 1. 28
g#
25/24 = 1. 042 = 71 цент
4/3 = 1. 333333...
* g
25/24 = 1. 042 = 71 цент
25/18 = 1. 388888...
gb
128/125 = 1. 024 = 41 цент
64/45 = 1. 422222...
f#
135/128 = 1. 055 = 92 цента
3/2 = 1. 5
* f
25/24 = 1. 042 = 71 цент
25/16 = 1. 5625
fb; (e#)
128/125 = 1. 024 = 41 цент
8/5 = 1. 6
* e
25/24 = 1. 042 = 71 цент
5/3 = 1 666666...
eb
128/125 = 1. 024 = 41 цент
128/75 = 1. 706666...
d#
25/24 = 1. 042 = 71 цент
16/9 = 1. 777777...
* d
135/128 = 1. 055 = 92 цента
15/8 = 1. 875
db
128/125 = 1. 024 = 41 цент
48/25 = 1. 92
c#
25/24 = 1. 042 = 71 цент
2
* c (новой октавы)
Теперь можно составить таблицу 4 с обозначениями нот октавы и вспомогательными
звуками, находящимися в пятом столбце.
Таблица 4
Рабочая двадцатитоновая октава и пять вспомогательных
звуков:
a# d#
g# c#
(36/25 = 1. 44; f#1)
f# h
e a
(9/5 = 1. 8; d1)
d g
c f
(9/8 = 1. 125; b1)
b eb
ab db
(45/32 = 1. 40625; gb1)
gb cb;(h#)
fb;(e#) bb
(225/128 = 1. 7578125; d2)
Роль вспомогательных звуков нижеследующая.
Все горизонтальные интервалы
между соседними звуками в таблице составляют точную натуральную квинту
или
кварту Если мы будем двигаться квинтовыми ходами по верхнему ряду к
до-диез,
то
следующим за ним по нотному обозначению звуком должен быть фа-диез,
первый
во втором ряду сверху, то есть последняя квинта оказывается “хромой”,
чуть короче
(на 21.5 цента) нежели 2/3. Если же мы вместо фа-диез возьмем
36/25, то квинта
будет точной. После этого мы можем все-таки взять фа-диез, который
на слух мало
отличим от 36/25, и от него вести еще три точные квинты и так далее.
С такой
поправкой, вводимой всякий раз после трех точных квинт на месте “хромой”
квинты, мы можем пройти весь слышимый звукоряд квинтовыми ходами.
<........................>
_____________________________________________________________________________________________
|