.
                                                                                                    Приложение
Что такое «полутоны»

     Если взять октаву (например на монохорде или в трубе) от 1. до 2., то целых чисел 
между этими границами нет и делить её неудобно. Если взять следующую октаву, от 
2. до 4., то между границами окажется число 3., которое и создаст условие для деления: 
октава будет разделена на два интервала: от 2. до 3. (квинта, 3/2) и от 3. до 4. (кварта, 4/3). 
По внешности, октава разделена вроде бы «пополам», ведь число 3. находится ровно 
посередине октавы, между 2. и 4., но фактически вовсе не на две равные части. Квинта 
«стоит» 702 цента, а кварта — 498 центов (при округлениях этих значений). С такою же двусмысленностью мы будем встречаться и далее. 
     Продолжим наши упражнения с числами, построим октаву 3. — 6. В этой октаве между 
ее границами два числа: 4. и 5.; интервал от 4. до 6. равен квинте. Разделив эту квинту по 
числу 5., получаем две натуральные терции, большую — от 4. до 5. (5/4) и малую — от 
5. до 6. (6/5). Большая натуральная терция «стоит» 386 центов, а малая — 316 центов. 
Отметим, что ряд 1., 2., 3., 4., 5., 6. состоит из пяти равных по длине промежутков, а это 
означает, что просверлив в трубке отверстия на равных расстояниях, мы получим некий натуральный строй. 
     Именно так, но часто с устранением одного или двух начальных интервалов, и были 
устроены простейшие флейты. Начиная с расстояния в три (иногда в две) единицы от 
источника звука в флейте просверливались четыре (иногда пять) отверстий, отделенных 
друг от друга равными расстояниями длиной в такую же единицу. Эти расстояния давали натуральную кварту, большую терцию и малую терцию. Последние два интервала вместе составляли квинту, и к ним иногда добавлялась еще октава вверх от тона 4., верхняя 
граница которой, число 2., было на том же расстоянии от тона 3., что и все другие 
расстояния в этом строе. 
     Числом 6. оканчивается непрерывный строй, где числа идут подряд. В дальнейших построениях придётся пропускать некоторые числа, а именно те из них, которые не 
способны образовать трезвучия 3:4:5 и производных от него трезвучий и интервалов.
     Рассмотрим теперь октаву 5. — 10., то есть ряд 5., 6., 8., 9., 10., в котором число 7. 
пропущено по указанным выше причинам. Числа 8. и 10. составляют отношение 5/4, 
большую терцию. Ровно посередине между ними расположено число 9., которое делит эту большую терцию на два тона: 9/8 — большой и 10/9 — натуральный малый. Большой тон, естественно, тоже натуральный, но его можно назвать и «пифагорейским». Укажем здесь на несовершенство музыкальной терминологии: «тоном» называется сам звук и интервал 
между

двумя звуками. Будем здесь пользоваться этим словом только во втором смысле, в значении интервала. Большой тон «стоит» 204 цента, малый — 182 цента. (Следует 
помнить, что эти значения округлённые). Здесь вновь, как в случае квинты и кварты, а 
также при отыскании двух терций, деление точно посередине привело к образованию двух неравных величин. Большой тон можно можно получить ещё как разницу между квинтой 
и квартой. 
     Можно заметить, что до сих пор числа, составляющие отношения рассматриваемых интервалов шли подряд: 1, 2, 3 и 4 — две октавы, квинта и кварта; далее 4, 5 и 6 — две 
терции; затем 8, 9 и 10 — два тона. Поэтому нужный интервал — октава, квинта и большая терция — делился ровно посередине. В дальнейшем подобной симметрии наблюдаться 
уже не будет.
     Интервал 16/15 (112 центов) получается при сравнении величин кварты 
(4/3, 498 центов) и большой терции (5/4, 386 центов). Его называют натуральный «большой полутон». В октаве  8. — 16. имеется кварта 12. — 16. и большая терция 12. — 15. Разница 
между ними составляет 16/15. Интервал, называемый натуральный «малый полутон» 
(25/24, 70 центов), получается как разница между большой и малой терциями 
(386 и 316 центов). Вместе оба эти небольших интервала — большой и малый полутоны — составляют малый тон (10/9, 182 цента), и это могло бы быть основаним для именования 
их «полутонами». Фактически, они получаются по несколько иным правилам. А именно, 
взяв интервал равный малому тону (10/9), постараемся найти его положение в ряду чисел 
таким образом, чтобы его оказалось возможным разделить на большой и малый полутоны. 
Таков интервал 45. — 50. или 45., 48., 50., который содержит число 48. Это число отстоит 
на три единицы от 45., давая 16/15, и на две единицы от 50., давая 25/24. Как видно, 
интервал 45. — 50. разделяется на две неравные части, находящиеся в отношении 3:2, в 
отличие от прежних случаев, где такие части были равными. Поэтому данные малые 
интервалы (16/15 и 25/24) в собственном смысле «полутонами» не являются и могут 
сохранить своё название лишь как условность. 
     Отметим, что все рассмотренные выше интервалы получаются делением двух чисел, отличающихся на единицу. Имеется еще один такой интервал: 81/80 (22 цента), называемый «коммой». Эта комма представляет собой разницу между большим и малым тоном, 
9/8 и 10/9. 
     Перечислим теперь все рассмотренные натуральные интервалы: октава, квинта, кварта, большая терция, малая терция, большой тон, малый тон, большой полутон, малый полутон 
и комма. Их десять: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 9/8, 10/9, 16/15, 25/24 и 81/80. 

<........................>