.
Приложение
Что такое «полутоны»
Если взять октаву (например на монохорде или
в трубе) от 1. до 2., то целых чисел
между этими границами нет и делить её неудобно. Если взять следующую
октаву, от
2. до 4., то между границами окажется число 3., которое и создаст условие
для деления:
октава будет разделена на два интервала: от 2. до 3. (квинта, 3/2)
и от 3. до 4. (кварта, 4/3).
По внешности, октава разделена вроде бы «пополам», ведь число 3. находится
ровно
посередине октавы, между 2. и 4., но фактически вовсе не на две равные
части. Квинта
«стоит» 702 цента, а кварта — 498 центов (при округлениях этих значений).
С такою же двусмысленностью мы будем встречаться и далее.
Продолжим наши упражнения с числами, построим
октаву 3. — 6. В этой октаве между
ее границами два числа: 4. и 5.; интервал от 4. до 6. равен квинте.
Разделив эту квинту по
числу 5., получаем две натуральные терции, большую — от 4. до 5. (5/4)
и малую — от
5. до 6. (6/5). Большая натуральная терция «стоит» 386 центов, а малая
— 316 центов.
Отметим, что ряд 1., 2., 3., 4., 5., 6. состоит из пяти равных по длине
промежутков, а это
означает, что просверлив в трубке отверстия на равных расстояниях,
мы получим некий натуральный строй.
Именно так, но часто с устранением одного
или двух начальных интервалов, и были
устроены простейшие флейты. Начиная с расстояния в три (иногда в две)
единицы от
источника звука в флейте просверливались четыре (иногда пять) отверстий,
отделенных
друг от друга равными расстояниями длиной в такую же единицу. Эти расстояния
давали натуральную кварту, большую терцию и малую терцию. Последние два
интервала вместе составляли квинту, и к ним иногда добавлялась еще октава
вверх от тона 4., верхняя
граница которой, число 2., было на том же расстоянии от тона 3., что
и все другие
расстояния в этом строе.
Числом 6. оканчивается непрерывный строй,
где числа идут подряд. В дальнейших построениях придётся пропускать некоторые
числа, а именно те из них, которые не
способны образовать трезвучия 3:4:5 и производных от него трезвучий
и интервалов.
Рассмотрим теперь октаву 5. — 10., то есть
ряд 5., 6., 8., 9., 10., в котором число 7.
пропущено по указанным выше причинам. Числа 8. и 10. составляют отношение
5/4,
большую терцию. Ровно посередине между ними расположено число 9., которое
делит эту большую терцию на два тона: 9/8 — большой и 10/9 — натуральный
малый. Большой тон, естественно, тоже натуральный, но его можно назвать
и «пифагорейским». Укажем здесь на несовершенство музыкальной терминологии:
«тоном» называется сам звук и интервал
между
двумя звуками. Будем здесь пользоваться этим словом только во
втором смысле, в значении интервала. Большой тон «стоит» 204 цента, малый
— 182 цента. (Следует
помнить, что эти значения округлённые). Здесь вновь, как в случае квинты
и кварты, а
также при отыскании двух терций, деление точно посередине привело к
образованию двух неравных величин. Большой тон можно можно получить ещё
как разницу между квинтой
и квартой.
Можно заметить, что до сих пор числа, составляющие
отношения рассматриваемых интервалов шли подряд: 1, 2, 3 и 4 — две октавы,
квинта и кварта; далее 4, 5 и 6 — две
терции; затем 8, 9 и 10 — два тона. Поэтому нужный интервал — октава,
квинта и большая терция — делился ровно посередине. В дальнейшем подобной
симметрии наблюдаться
уже не будет.
Интервал 16/15 (112 центов) получается при
сравнении величин кварты
(4/3, 498 центов) и большой терции (5/4, 386 центов). Его называют
натуральный «большой полутон». В октаве 8. — 16. имеется кварта 12.
— 16. и большая терция 12. — 15. Разница
между ними составляет 16/15. Интервал, называемый натуральный «малый
полутон»
(25/24, 70 центов), получается как разница между большой и малой терциями
(386 и 316 центов). Вместе оба эти небольших интервала — большой и
малый полутоны — составляют малый тон (10/9, 182 цента), и это могло бы
быть основаним для именования
их «полутонами». Фактически, они получаются по несколько иным правилам.
А именно,
взяв интервал равный малому тону (10/9), постараемся найти его положение
в ряду чисел
таким образом, чтобы его оказалось возможным разделить на большой и
малый полутоны.
Таков интервал 45. — 50. или 45., 48., 50., который содержит число
48. Это число отстоит
на три единицы от 45., давая 16/15, и на две единицы от 50., давая
25/24. Как видно,
интервал 45. — 50. разделяется на две неравные части, находящиеся в
отношении 3:2, в
отличие от прежних случаев, где такие части были равными. Поэтому данные
малые
интервалы (16/15 и 25/24) в собственном смысле «полутонами» не являются
и могут
сохранить своё название лишь как условность.
Отметим, что все рассмотренные выше интервалы
получаются делением двух чисел, отличающихся на единицу. Имеется еще один
такой интервал: 81/80 (22 цента), называемый «коммой». Эта комма представляет
собой разницу между большим и малым тоном,
9/8 и 10/9.
Перечислим теперь все рассмотренные натуральные
интервалы: октава, квинта, кварта, большая терция, малая терция, большой
тон, малый тон, большой полутон, малый полутон
и комма. Их десять: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 9/8, 10/9, 16/15, 25/24
и 81/80.
<........................>
_____________________________________________________________________________________________
|